Algebra [Lecture notes] by Mark Steinberger

By Mark Steinberger

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`Alan McKee provides a pupil pleasant creation to the research of cultural texts. The booklet highlights the cultural adjustments in interpretation with an array of interesting examples. Textual research is written in an obtainable variety with numerous important case experiences. every one bankruptcy additionally contains workouts for school room' - Jane Stokes, London Metropolitan collage `McKee is a talented practitioner of the abilities he might train during this ebook, in addition to a full of life and interesting author and person who has a true dedication to creating his principles to be had to a bigger public' - Henry Jenkins, Massachusetts Institute of expertise This ebook presents an necessary simple advent to textual research.

Algèbre : Classe de Seconde des Lycées et Collèges. Programme 1947

Desk des matières :

Livre I. — Calcul algébrique

Première leçon. — Nombres algébriques
    Addition des nombres algébriques
    Soustraction
    Sommes algébriques
    Multiplication
    Division
    Propriétés des rapports
Deuxième leçon. — Puissances. Racines d’un nombre arithmétique. Racines d’un nombre algébrique
Troisième leçon. — Égalités. Rapports égaux. Proportions. Inégalités
Quatrième leçon. — Vecteurs. Relation de Chasles
Cinquième leçon. — Expressions algébriques. Monômes. Polynômes
Sixième leçon. — Multiplication des monômes et des polynômes. Identités remarquables
Septième leçon. — department des monômes et des polynômes. Identités remarquables
Huitième leçon. — Fractions rationnelles. Expressions irrationnelles

Livre II. — Le most advantageous degré

Neuvième leçon. — Équation du preferable degré à une inconnue
Dixième leçon. — Équations se ramenant au most popular degré. *Équations irrationnelles
Onzième leçon. — Inéquation du optimal degré à une inconnue
Douzième leçon. — Signe du binôme du most appropriate degré. *Applications aux inéquations
Treizième lecon. — Systèmes d’équations du leading degré à deux inconnues
    I. Élimination par substitution
    II. Élimination par addition
Quatorzième leçon. — *Systèmes d’équations du leading degré (suite)
Quinzième leçon. — Systèmes d’équations à plusieurs inconnues
    Systèmes particuliers
Seizième leçon. — Problèmes du most effective degré

Livre III. — Les fonctions

Dix-septième leçon. — Généralités sur les fonctions. Coordonnées et graphiques
Dix-huitième leçon. — Étude de l. a. fonction : y = ax
Dix-neuvième leçon. — Étude de los angeles fonction : y = ax + b
Vingtième leçon. — purposes de los angeles fonction linéaire
Vingt et unième leçon. — Étude de l. a. fonction : y = ax²
Vingt-deuxième leçon. — Étude de l. a. fonction : y = 1/x
Vingt-troisième leçon. — Étude de los angeles fonction : y = a/x

Livre IV. — Le moment degré

Vingt-quatrième lecon. — Équation du moment degré
Vingt-cinquième leçon. — *Relations entre les coefficients et les racines
Vingt-sixième leçon. — *Signe des racines
Vingt-septième leçon. — *Équations et systèmes se ramenant au moment degré
Vingt-huitième leçon. — *Trinôme du moment degré
Vingt-neuvième leçon. — *Inéquations du moment degré. Applications
Trentième leçon. — Problèmes du moment degré

An elementary treatise on solid geometry

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Sample text

Prkk and q1s1 . . qlsl of m as above. We argue by induction on t = r1 + · · · + rk . If t = 1, then m = p1 , a prime. But then p1 is divisible by q1 , and since both are prime, they must be equal. We then have p1 (1 − q1s1 −1 . . qlsl ) = 0, so that (1 − q1s1 −1 . . qlsl ) = 0, and hence q1s1 −1 . . qlsl = 1. Since the qi are prime and since no positive number divides 1 other than 1 itself, we must have l = 1 and s1 = 1. Suppose t > 1. 16, together with an induction on s1 + · · · + sl , shows that p1 must divide qi for some i.

Otherwise, we have m = −q n − r . Subtracting and adding a copy of n on the right of the equation gives m = (−q − 1)n + (n − r ), and since 0 < r < n, we have 0 < n − r < n as well. We shall use this to characterize the subgroups of Z. The subgroups we already know are the cyclic ones: n = {qn | q ∈ Z}. We shall next show that these are all the subgroups of Z. First, note that if H is a nonzero subgroup of Z, then there must be a nonzero element in it, and hence, by closure under inverses, a positive element.

Then there is a unique non-negative integer which generates H. 8. Let m and n be integers. We write m + n = {rm + sn | r, s ∈ Z}. 9. m + n is a subgroup of Z. Proof The inverse of rn + sm is (−r)m + (−s)n. The result follows since (rm + sn) + (r m + s n) = (r + r )m + (s + s )n ∈ m + n . In fact, it is easy to see that m + n is the subgroup of Z generated by the set {m, n}. 10. Let m, n ∈ Z. We write (m, n) for the unique non-negative integer which generates the subgroup m + n of Z: m + n = (m, n) .

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