Analyse et analyse numérique : Rappel de cours et exercices by Luc Jolivet, Rabah Labbas

By Luc Jolivet, Rabah Labbas

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Retour à l’exemple modèle Etudions la dérivabilité et la continuité de la fonction dérivée en ½ de la fonction : Ê Ü Ê ´Üµ ¿ ½ ܾ ¾ ½ ½ sinon. Ü La fonction de si Ü ¾ est indéÞniment dérivable sur Ê ½ . On déclare les deux expressions » syms x real » f1Moins =(3-x^2)/2 ; » f1Plus=1/x ; On calcule les limites à gauche et à droite suivantes : ÐÑ Ü ½ ´½µ , Ü ½ ´Üµ ÐÑ Ü ½ ´½µ Ü ½ ´Üµ 56 Mathématiques avec Matlab » taux1Moins = (f1Moins - 1)/(x-1) taux1Moins = (1/2-1/2*x^2)/(x-1) » factor(taux1Moins) ans = -1/2*x-1/2 » taux1Plus = (f1Plus - 1)/(x-1) taux1Plus = (1/x-1)/(x-1) » factor(taux1Plus) ans = -1/x » limit(taux1Moins,x,1,’left’) ans = -1 » limit(taux1Plus,x,1,’right’) ans = -1 Ces deux limites étant égales, la fonction est dérivable en ½ et ¼ ´½µ ½ Pour la continuité de la fonction dérivée en 1, on calcule Ð Ñ ¼ ´Ü µ Ü ½ et Ð Ñ ¼ ´Üµ Ü ½ » f1MoinsPrime = diff(f1Moins) f1MoinsPrime = -x » f1PlusPrime = diff(f1Plus) f1PlusPrime = -1/x^2 » limit(f1MoinsPrime,x,1,’left’) ans = -1 » limit(f1PlusPrime,x,1,’right’) ans = -1 Donc ½ est de classe ¼ (continûment dérivable) et Ê Ü Ê ¼ ´Üµ Ü ½ ½ ܾ ¾ ½ ½ si Ü si Ü ½ sinon.

3. Autres cas D’une manière similaire, on déÞnit les autres cas de limites. 4. 0005 laisse présager que Montrons-le. Fixons Ð Ñ ´Üµ Ü ½ ¼. 5. Limite à gauche, limite à droite On dira que tel que admet Ð pour limite à gauche en Ü ¼ si pout tout ܼ Ü Ü¼ µ ´Üµ On notera Ð Ñ ´Üµ Ü Ü¼ Ð Ð ¼ il existe ¼ 44 Mathématiques avec Matlab On déÞnit de même la limite à droite de Ü ¼ admet Ð pour limite en Ü ¼ si et seulement si droite de ܼ . 2. Résultat fondamental Les règles sur les limites de fonctions sont similaires à celles sur les suites numériques.

3. Périodicité, parité et imparité d’une fonction Une fonction déÞnie sur Ê est dite périodique de période Ì si on a Ü ¾Ê ´Ü · Ì µ ´Üµ Pour de telles fonctions, il sufÞra de les étudier sur un intervalle de longueur Ì . Lorsqu’une fonction est déÞnie sur un intervalle centré éventuellement · µ on dira qu’elle est paire si ½ Ü ¾Á ´ ܵ Á · (avec ´Üµ Si est paire, alors son graphe admet une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées et donc il sufÞra de l’étudier sur ¼ . De même, une fonction est dite impaire si déÞnie sur Ü ¾Á · ܵ ´ (avec éventuellement ½ · µ ´Üµ son graphe admet alors une symétrie par rapport à l’origine du repère.

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